Новости Дня

здесь:

О чем речь? Смысл производной состоит в том, что это - результат действия дифференцирования. При использовании подстановки: "значение переменной - количество единичных отрезков на числовой оси", топологическая точка (элемент множества), представляющая собой визуализацию пары: значение аргумента-значение функции, рассмотренная как точка геометрическая, есть производная длины линии по дифференциалу протяженности (подробнее в моем блоге). Но так как ординатный отрезок - это значение функции в результате подстановки, показанной выше, то конец этого отрезка - топологическая точка, содержащая в себе значение производной при данном значении аргумента (показано выше в гиф-файле).
Это значение - есть число, так как рассматриваемая функция числовая. Значит, рассматривается одно значение функции, являющейся результатом дифференцирования. То есть, численное значение производной при одном произвольном значении аргумента.
В то же время, для нашего примера рассматриваемой функции, отношение приращения функции к приращению аргумента есть сумма: x22 - x12/x2 - x1 = x2 + x1.
Если в результате примененной подстановки приращение функции визуализировано длиной вертикального отрезка, а приращение аргумента - горизонтальным, то результат их отношения будет равен сумме двух отрезков: x2 + x1.
Точки на линии графика с соответствующими абсциссами: x2 и x1 можно соединить геометрическим отрезком, а отрезок продлить и назвать секущей. Так как эта геометрическая линия будет иметь с топологической линией графика две общие точки.
То есть топологический мерный объект, равный значению производной при заданном значении аргумента, визуализированный топологической точкой, предлагается совместить с геометрическим объектом порядка (две точки фиксируют расположение геометрической линии).
Это совмещение визуальное, не имеющее математической функциональности потому, что элемент меры не является элементом порядка, и наоборот. На основании этого совмещения и на основании совмещения двух точек графика в одну точку, названную точкой касания, результатом совмещения будет являться появление вместо двух различных отрезков (x2 + x1) два одинаковых (x+x=2x):

Это есть мысленная интерпретация получения производной в соответствии с аналитическим алгоритмом дифференцирования. Но здесь нет "касательной" и угла наклона ее к оси аргументов. Эту линию можно легко получить даже без начертания линии графика. Для этого достаточно определить аргумент точки будущего "касания" и задать произвольное значение приращения аргумента.
По формуле производной, подставляя значение аргумента, вычисляется значение топологической точки графика. Из этой точки чертится горизонтальный отрезок, равный приращению аргумента. Из второго конца этого отрезка чертится вертикальный отрезок вверх длиной, равной произведению вычисленного значения производной в будущей точке "касания" на приращение аргумента, и верхний конец этого отрезка и будет второй точкой для начертания линии, котороую можно, с полной уверенностью, называть касательной потому, что эта линия будет иметь с линией графика одну общую точку в некотором пространственном приближении. Эта линия даст некий угол с осью аргументов, а отношение построенных вертикального и горизонтального отрезков можно с полной увереннностю назвать тангенсом полученного угла. Таким образом получается одно и то же число, названное двумя различными алгоритмами его "вычисления".
Первый алгоритм: подстановка в формулу производной соответствующего значения аргумента, выбранного произвольно.

Второй алгоритм: получение, с помощью этого числа двух отрезков, отношение которых даст это же самое исходное число.
Только есть один нюанс: производная - это результат дифференцирования, а тангенс - это функция угла. Равенство двух чисел не дает основания считать функцию тангенса геометрическим смыслом результата дифференцирования...
P.S. Дифференциал - есть элемент порядка, а не меры. Приращение - есть элемент меры. Поэтому все попытки "вычисления" дифференциала абсурдны. Геометрическая интерпретация дифференциала как части приращения функции противоречит практическому опыту под названием "бином Мишина". Квалификация этого бинома как разновидности бинома Ньютона интеллектуально ничтожна. Потому, что функция "факториал" не является аналогом взаимообратности действий дифференцирования и интегрирования. Нет никаких доступных преобразований, которые позволили бы из формулы бинома Ньютона получить бином Мишина. Подробности в моем блоге в соответствующих статьях.